Fundation of physically based modeling & animation

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Apr 5, 2021

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刚开始看，感觉开头的还挺简单的（有望成为我第一本看完的英文书

这本书讲的都是理论上的东西，没有见过相关的代码或前置知识比较难看下去，目前暂停阅读

这本书有中译版，我也是从中译版作者这里知道这本书的，他们在知乎都有账号，其中叶的一系列关于图形学的入门文章写的很好

英文版的话直接搜索书名就能找到电子版的

这个笔记中很可能会出现错误的地方，我可能很久之后才会发现

在看的途中发现了前言里面有写了阅读顺序...

Note that the code provided below is offered as is. The documentation is currently sparse, but will eventually be augmented, so it would be good to check from time to time for updates. Code supporting graphics uses traditional OpenGL and the GLUT interface.

https://www.cs.clemson.edu/savage/pba/resources.html

阅读顺序

第一章

导论部分，主要讲了本书中的各种符号的含义，以及介绍基本的概念

第二章

第二章主要是通过牛顿运动定律（主要是下面这个）来运算小球的位置，引入了微积分运算

2.3 在一维中落下一个球

在一维的情况下，小球只受到重力的作用

2.5 基本的模拟循环

最简单的积分是欧拉积分，基本思想是就是选取一个特别小的时间步长h ，假设在这个时步内积分的所有值维持不变，所以出现的误差和时步大小相关，具体的可以看一下函数图像，在求一个函数下方面积的时候如果用许多个长方形来近似，算出来的面积会少了长方形上面和函数曲线下面这个范围内的面积。

2.7 空气中的三维运动

主要是引入了三个维度

但是实际上这节还是运算两个维度，然后加上了空气阻力 ,方向和运动的方向相反，速度越快，阻力越大，下面应该是数学模型（感觉就像设定一样

上面的那个里的是常数，不是微分的意思（不明白为啥当初写的时候不换个表示方法）

结论就是一直模拟下去的话只会剩下重力方向的速度，并且当空气阻力刚好抵消重力时物体到达最大速度

风

风就是一个比较自由的空气阻力

第三章

3.1与平面碰撞

这里简化了碰撞模型，假设球不会旋转

在处理碰撞时，有三个重要的阶段——有没有？在哪里？然后呢？：

碰撞检测：碰撞是否会出现？

碰撞测定：碰撞在什么时间和位置发送？

碰撞响应：碰撞产生什么效果？

碰撞检测

先设平面上一法线矢量以及平面上任意一点平面外任意一点

然后就可以构造出和平面接触的情况：

设代表在垂直方向上和平面上的距离

扩展到一个球，就是增加了的半径

碰撞测定

下面的就是假设球的速度不变的情况下，时间与移动距离成正比，所以假设有两个时间点，一个在平面上方，一个在平面下方，两个相对于平面都有不同的距离，然后通过这两个比值与时步的长度相乘，得出在一个时步内部具体碰撞发生的时间

相关的程序循环（可能看着有点麻烦，书上写的还是挺详细的

然后会出现一个问题：物体可能在一个时步内穿过多个平面，这时候就要选取最早发生的碰撞

然后还会出现一个问题，这是由于计算机限制的：由于计算机的浮点数表示，所以当永远不会变为，陷入死循环。可行的解决办法是把条件改为是一个很小的数，这样就能忽略精度误差，但这样也会带来很多的问题，在3.3节会详细说一下。

3.2 碰撞响应

碰撞响应分为两个部分：弹性和摩擦力

这里用上标来表示碰撞前和碰撞后的状态

所以说速度在平面法向量方向的分量为

剩下的就是切线速度

弹性

定义一个恢复系数表示碰撞后的球体会以某比率的速率离开平面，因此

负号表示离开平面的方向

摩擦力

摩擦力是施加于表面上切线方向的力

定义一个摩擦系数,表示切线速率在碰撞时失去的比例

这里的假设简化了现实世界的模型，可得

所以，结合起来可以得到：

把碰撞前的速度分为法线速度和切线速度

计算和

新的速度为

3.3实现弹跳球

这一部分主要是讲解上面那些做法会有那些错误和缺陷，直接截图了

还有就是关于如何判定静止？

由于数值误差错误，当速度极小的时候，小球会快速抖动，而不是静止下来，这会浪费计算资源来计算这些不必要的东西，所以可以规定一个范围，当在这个范围里面就说明停止了，但是又会出现一个问题，当球在一个盒子里面，当反弹回顶部时速度恰好变为0的情况下，它就会停在顶部（这让我想起了一个游戏，但是具体叫啥我忘了...）所以说就要考虑施加于物体的合力,确保这个力指向要判断的平面就可以了

所以就有这四步

速度是否足够小？

距离平面是不是足够近？

小球和要判断的平面是否在一起？（这个我不知道怎么说明，主要是排除小球吸附在顶部平面的情况）

摩擦力能否保持静止？

3.4多边形的几何学

假设一任意平面，上面有三个点，则可以得到表面法线并归一化：

则平面外一点与这个平面的距离为

位于平面上的点都符合平面方程

3.5点与多边形的碰撞

检测一个点与多边形相交，有三个步骤：

把例子从当前位置按照速度向未来时间投射，即，带入平面方程，然后可以得到碰撞的时间:

然后就需要判断是否在多边形内部（因为两个物体表面都是由多边形组成的，并不是无限的平面）

下面这个算法对于凹多边形无效

就是利用叉乘后得到的向量方向是否一致来判断是否在多边形内部

第四章

4.1 什么是粒子系统

粒子系统由大量的粒子组成，粒子之间不做交互，忽略粒子之间的碰撞

当粒子的运动具有一致性时，我们会觉得这些粒子好像是某种物理现象的点采样

粒子生成器有很多不同的形态

粒子的数据结构总是包含粒子的位置和速度，此外当生成粒子的时候，通常会记录它的时间戳，以便在之后记录它的年龄还有很多参数，视具体的粒子系统来决定

4.2 随机数随机矢量随机点

在生成粒子的时候，会初始化其位置速度和其他参数，有时候需要加入随机性，这时候要避免使用系统的函数，因为它只会生成均匀分布的随机数

高斯分布：

性质：均值为分布中心，大部分数值分布在它附近；标准差决定了分布的分散程度，粗略地说，的数值在范围内，的值在范围内，的值在范围内

定义函数返回范围内的均匀分布随即标量

函数返回均值为,标准差为的正态分布随即标量

函数为无参数的随机矢量生成器

函数为另外两个随机矢量生成器，都返回单位矢量，偏离自方向矢量，偏离范围由决定，其中的标准差为

定义两个随机位置生成器返回圆盘上的随机位置圆盘的圆心为，表面法线为，半径为，一个是均匀分布另一个是以圆盘中心正态分布的点，半径对应离中心点三个标准差的长度

4.3

4.4

4.5

4.6